Python 矩阵基本运算【numpy】 |
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一、实验说明二、Python 矩阵基本运算1. python矩阵操作2. python矩阵乘法3. python矩阵转置4. python求方阵的迹5. python方阵的行列式计算方法6. python求逆矩阵/伴随矩阵7. python解多元一次方程
一、实验说明
实验环境 Anaconda + python3.6 + jupyter 二、Python 矩阵基本运算引入 numpy 库 import numpy as np 1. python矩阵操作① 使用 mat 函数创建一个 2X3矩阵 a = np.mat([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])② 使用 shape 可以获取矩阵的大小 a.shape③ 进行行列转换 a.T④ 使用二维数组代替矩阵来进行矩阵运算 b = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])⑤ 加减法 a + b a - b 2. python矩阵乘法① 使用二维数组创建两个矩阵A和B A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]]) B = A.T② 一个矩阵的数乘,其实就是矩阵的每一个元素乘以该数 2 * A③ dot 函数用于矩阵乘法,对于二维数组,它计算的是矩阵乘积,对于一维数组,它计算的是内积 np.dot(A, B) np.dot( B, A)注意交换矩阵的前后位置会导致不同的结果 ④ 再创建一个二维数组 C = np.array([[1, 2], [1, 3]])⑤ 验证矩阵乘法的结合性: ( A B ) C = A ( B C ) (AB)C = A(BC) (AB)C=A(BC) np.dot(np.dot(A, B), C) np.dot(A, np.dot(B, C))⑥ 验证矩阵加法的分配性: ( A + B ) C = A C + B C (A+B)C = AC + BC (A+B)C=AC+BC A = B - 1 np.dot(A+B, C) np.dot(A, C) + np.dot(B, C)⑦ 数乘的结合性 2*(np.dot(A, C)) np.dot(2*A, C) np.dot(A, 2*C)⑧ 使用 eye 创建一个单位矩阵 D = np.eye(2)⑨ 一个矩阵乘以一个单位矩阵,还是它本身 np.dot(C, D) 3. python矩阵转置矩阵的转置就是将矩阵的行变为列,将列变为行 ① 第一个性质矩阵转置的转置就是它本身: ( A ′ ) ′ = A (A^{'})^{'} = A (A′)′=A A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]]) A.T.T② 创建两个尺寸相同的矩阵 B = A.T C = B - 1③ 验证矩阵转置的第二个性质: ( A ± B ) ′ = A ′ ± B ′ (A \pm B)^{'} = A^{'} \pm B^{'} (A±B)′=A′±B′ (B + C).T B.T + C.T④ 验证矩阵转置的第三个性质: ( K A ) ′ = K A ′ (KA)^{'} = KA^{'} (KA)′=KA′ (2 * A).T 2 * A.T⑤ 验证矩阵转置的第四个性质: ( A × B ) ′ = B ′ × A ′ (A \times B)^{'} = B^{'} \times A^{'} (A×B)′=B′×A′ np.dot(A, B).T np.dot(B.T, A.T) 4. python求方阵的迹方阵的迹就是主对角元素之和 ① 创建一个方阵(方阵也就是行数等于列数的矩阵) E = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])② 用 trace 计算方阵的迹 np.trace(E)③ 再创建一个方阵F F = E - 2④ 验证一下方阵的迹等于方阵的转置的迹 np.trace(E) np.trace(E.T)⑤ 验证一下方阵的乘积的迹 np.trace(np.dot(E, F)) np.trace(np.dot(F, E))⑥ 验证一下方阵的和的迹等于方阵的迹的和 np.trace(E + F) np.trace(E) + np.trace(F) 5. python方阵的行列式计算方法① 创建两个方阵 E = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]) F = np.array([[1, 2], [1, 3]])② 使用 linalg.det 方法求得方阵E和方阵F的行列式 np.linalg.det(E) np.linalg.det(F) 6. python求逆矩阵/伴随矩阵逆矩阵的定义: 设A是数域上的一个n阶方阵,若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B,使得: AB=BA=E。 则我们称B是A的逆矩阵,而A则被称为可逆矩阵。当矩阵A的行列式|A|不等于0时才存在可逆矩阵。 伴随矩阵的定义: 设A为n节方阵,则由A的行列式|A|中各个元素的代数余子式 A i j A_{ij} Aij所构成的如下矩阵 A ∗ = [ A 11 A 21 ⋯ A n 1 A 12 A 22 ⋯ A n 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ A 1 n A 2 n ⋯ A n n ] A^* = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1}\\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \end{bmatrix} A∗=⎣⎢⎢⎢⎡A11A12⋮A1nA21A22⋮A2n⋯⋯⋱⋯An1An2⋮Ann⎦⎥⎥⎥⎤ 称为矩阵A的伴随矩阵,或简称 “伴随阵” ① 创建一个方阵 A = np.array([[1, -2, 1], [0, 2, -1], [1, 1, -2]])② 使用 linalg.det求得方阵的行列式 A_abs = np.linalg.det(A)③ 使用 linalg.inv 求得方阵A的逆矩阵 B = np.linalg.inv(A)④ 利用公式求伴随矩阵: A ∗ = ∣ A ∣ A − 1 A^* = |A|A^{-1} A∗=∣A∣A−1 A_bansui = B * A_abs 7. python解多元一次方程使用python的numpy包中的 linalg.solve() 方法解多元一次方程 要求解的方程如下: x + 2 y + z = 7 2 x − y + 3 z = 7 3 x + y + 2 z = 18 x + 2y + z =7 \\ 2x - y +3z = 7 \\ 3x + y + 2z = 18 x+2y+z=72x−y+3z=73x+y+2z=18 ① 将未知数的系数写下来,排列成一个矩阵a a = [[1, 2, 1], [2, -1, 3], [3, 1, 2]] a = np.array(a)② 常数项构成一个一维数组(向量) b = [7, 7, 18] b = np.array(b)③ 使用 linalg.solve 方法解方程,参数a指的是系数矩阵,参数b指的是常数项矩阵 x = np.linalg.solve(a, b)④ 使用点乘的方法可以验证一下,系数乘以未知数可以得到常数项 np.dot(a, x) |
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